int (x+2)/((x-1)^3)(x^(2+1)^2)dx

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de decomposição em fracionários parciais. Vamos decompor a função racional em fracionários parciais:<br /><br />\[<br />\frac{x+2}{(x-1)^3(x^2+1)^2} = \frac{Ax+B}{(x-1)^3} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \((x-1)^3(x^2+1)^2\), obtemos:<br /><br />\[<br />x+2 = (Ax+B)(x^2+1)^2 + (Cx+D)(x-1)^3<br />\]<br /><br />Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:<br /><br />\[<br />x+2 = A(x^5 + x^3 + 1) + B(x^4 + x^2 + 1) + C(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) + D(x^3 - x^2 + x - 1)<br />\]<br /><br />Igualando os coeficientes de \(x^5\), \(x^4\), \(x^3\), \(x^2\), \(x\) e constantes, temos um sistema de equações lineares. Resolvendo esse sistema, encontramos:<br /><br />\[<br />A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0, \quad D = 1<br />\]<br /><br />Portanto, a decomposição em fracionários parciais é:<br /><br />\[<br />\frac{x+2}{(x-1)^3(x^2+1)^2} = \frac{1}{(x-1)^3(x^2+1)^2}<br />\]<br /><br />Agora, integramos cada termo separadamente:<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{(x-1)^3(x^2+1)^2}dx = \int \frac{1}{(x-1)^3}dx - \int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx<br />\]<br /><br />Para \(\int \frac{1}{(x-1)^3}dx\), usamos a substituição \(u = x-1\):<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{(x-1)^3}dx = \int \frac{1}{u^3}du = -\frac{1}{2u^2} + C_1 = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C_1<br />\]<br /><br />Para \(\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx\), usamos a substituição \(u = x\):<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2<br />\]<br /><br />Portanto, a integral original é:<br /><br />\[<br />\int \frac{x+2}{(x-1)^3(x^2+1)^2}dx = -\frac{1}{2(x-1)^2} - \frac{1}{x} + C<br />\]<br /><br />onde \(C = C_1 + C_2\) é a constante de integração.